PREMESSA La scienza non può dimostrare né l'assoluta verità di un'affermazione né l'assoluta falsità del suo contrario. I fatti della natura sono sempre, in certa misura, vaghi, sfumati. Solo la matematica, che è un sistema assolutamente artificiale di regole e simboli, riesce a definire, in una logica duale, le verità e il suo contrario. La sfera è il luogo dei punti dello spazio che distano di una quantità R, detta raggio, da un punto C, detto centro. È sufficiente che uno solo, fra gli infiniti punti della sfera, non disti R da C perché la sfera di partenza diventi una non-sfera. La logica è binaria: o sfera o non-sfera. Esistono solo due condizioni estreme, non si danno terze possibilità intermedie [Benincasa "Geometria frattale e reti neurali nell'analisi dei sistemi naturali" Quaderno CNR-IBIMET n. 4, 1999]. In natura, al contrario, non esistono le condizioni estreme, mentre esistono infinite possibilità intermedie. In natura esistono infiniti oggetti che sono "approssimativamente" sferici. Misurare il diametro di un pistone di un motore a combustione interna, significa assimilarlo a un cilindro retto. Ciò implica che si ritengano insignificanti sia la variazione del diametro lungo le generatrici, sia, su una stessa sezione, la variazione del diametro con l'orientazione angolare, e limitandosi a ciò, si trascurano importanti aspetti fisici, quali ad esempio le variazioni dimensionali dei metalli con la temperatura. Ancora, le misure si eseguono con strumenti che, per loro natura, hanno una precisione e una possibilità di visualizzazione, del dato, finite: il diametro sarà misurato con la precisione di 1 mm (asta millimetrata), di 0,1 mm (calibro), di 0,01 mm (micrometro), ma a un certo punto dobbiamo pur fermarci. "Il passaggio al limite in cui la precisione è infinita costituisce un'indebita estrapolazione che quando è stata effettuata con leggerezza, ha generato non pochi equivoci. La misura esatta non solo non è ottenibile, ma quando si rifletta bene ci si accorge che non ha nemmeno senso" [Toraldo di Francia "Un universo troppo semplice" Feltrinelli, 1990]. Spesso il risultato della misura di una grandezza non è ottenibile direttamente con uno strumento, ma è ricavato, tramite calcolo, dalla misura di altre grandezze a cui la prime è legata. Se z non è direttamente misurabile ma è noto il legame funzionale che essa ha con x e y, z = f(x, y), possiamo misurare queste ultime due grandezze e calcolare z. Il risultato sarà un numero razionale, con tanti decimali, che "troncheremo", introducendo un'approssimazione, in qualche punto. In sintesi, o per la natura vaga, sfumata, dei fenomeni naturali, o per l'approssimazione dei modelli che li rappresentano, o per l'intrinseca limitazione degli strumenti, o per l'approssimazione del calcolo, la misura "perfetta" non esiste ed è assurdo cercarla. In questo volume, che va ad aggiungersi ai precedenti dedicati alla matematica, si particolare si affrontano quelle procedure di calcolo che consentono comunque la soluzione di un problema, pur producendo un risultato non rigoroso in riferimento a un mondo irreale fatto di sfere e di cilindri, ma accettabile in un mondo reale dove ci sono corpi che in qualche modo e in qualche misura approssimano sfere e cilindri. Entrando nel dettaglio del presente volume possiamo evidenziare una continuità didattica col precedente. In particolare vogliamo far notare come il primo libro chiuda con lo studio delle funzioni: data y = f(x) se ne determini l'andamento generale al variare di x. Questo volume, dopo una premessa sui concetti di errore e di approssimazione (capitolo primo), affronta la soluzione del problema: data una funzione y = f(x) determinarne il valore (sia pur approssimato) in un assegnato punto x0 (capitolo secondo e terzo). Il volume tratta poi il problema: determinare i punti xi in cui la funzione y = f(x) assume i valori yi assegnati (capitolo quarto). Infine il problema affrontato è: assegnati i valori yi assunti dalla variabile dipendente nei punti xi, determinare la funzione, analitica, f(x) che meglio li rappresenta. Questo problema dell'interpolazione dei dati è distribuito fra i capitoli terzo e quinto; dove non vengono trattate le soluzioni statistiche (curve di regressione). Il sesto capitolo, in una sorta di sintesi dell'intero volume fornisce degli esempi svolti di calcolo approssimato e termina con alcuni esempi fisico-ambientali. Gli autori
Il Calcolo approssimato delle funzioni matematiche per le scienze ambientali
F Benincasa;M De Vincenzi
2008
Abstract
PREMESSA La scienza non può dimostrare né l'assoluta verità di un'affermazione né l'assoluta falsità del suo contrario. I fatti della natura sono sempre, in certa misura, vaghi, sfumati. Solo la matematica, che è un sistema assolutamente artificiale di regole e simboli, riesce a definire, in una logica duale, le verità e il suo contrario. La sfera è il luogo dei punti dello spazio che distano di una quantità R, detta raggio, da un punto C, detto centro. È sufficiente che uno solo, fra gli infiniti punti della sfera, non disti R da C perché la sfera di partenza diventi una non-sfera. La logica è binaria: o sfera o non-sfera. Esistono solo due condizioni estreme, non si danno terze possibilità intermedie [Benincasa "Geometria frattale e reti neurali nell'analisi dei sistemi naturali" Quaderno CNR-IBIMET n. 4, 1999]. In natura, al contrario, non esistono le condizioni estreme, mentre esistono infinite possibilità intermedie. In natura esistono infiniti oggetti che sono "approssimativamente" sferici. Misurare il diametro di un pistone di un motore a combustione interna, significa assimilarlo a un cilindro retto. Ciò implica che si ritengano insignificanti sia la variazione del diametro lungo le generatrici, sia, su una stessa sezione, la variazione del diametro con l'orientazione angolare, e limitandosi a ciò, si trascurano importanti aspetti fisici, quali ad esempio le variazioni dimensionali dei metalli con la temperatura. Ancora, le misure si eseguono con strumenti che, per loro natura, hanno una precisione e una possibilità di visualizzazione, del dato, finite: il diametro sarà misurato con la precisione di 1 mm (asta millimetrata), di 0,1 mm (calibro), di 0,01 mm (micrometro), ma a un certo punto dobbiamo pur fermarci. "Il passaggio al limite in cui la precisione è infinita costituisce un'indebita estrapolazione che quando è stata effettuata con leggerezza, ha generato non pochi equivoci. La misura esatta non solo non è ottenibile, ma quando si rifletta bene ci si accorge che non ha nemmeno senso" [Toraldo di Francia "Un universo troppo semplice" Feltrinelli, 1990]. Spesso il risultato della misura di una grandezza non è ottenibile direttamente con uno strumento, ma è ricavato, tramite calcolo, dalla misura di altre grandezze a cui la prime è legata. Se z non è direttamente misurabile ma è noto il legame funzionale che essa ha con x e y, z = f(x, y), possiamo misurare queste ultime due grandezze e calcolare z. Il risultato sarà un numero razionale, con tanti decimali, che "troncheremo", introducendo un'approssimazione, in qualche punto. In sintesi, o per la natura vaga, sfumata, dei fenomeni naturali, o per l'approssimazione dei modelli che li rappresentano, o per l'intrinseca limitazione degli strumenti, o per l'approssimazione del calcolo, la misura "perfetta" non esiste ed è assurdo cercarla. In questo volume, che va ad aggiungersi ai precedenti dedicati alla matematica, si particolare si affrontano quelle procedure di calcolo che consentono comunque la soluzione di un problema, pur producendo un risultato non rigoroso in riferimento a un mondo irreale fatto di sfere e di cilindri, ma accettabile in un mondo reale dove ci sono corpi che in qualche modo e in qualche misura approssimano sfere e cilindri. Entrando nel dettaglio del presente volume possiamo evidenziare una continuità didattica col precedente. In particolare vogliamo far notare come il primo libro chiuda con lo studio delle funzioni: data y = f(x) se ne determini l'andamento generale al variare di x. Questo volume, dopo una premessa sui concetti di errore e di approssimazione (capitolo primo), affronta la soluzione del problema: data una funzione y = f(x) determinarne il valore (sia pur approssimato) in un assegnato punto x0 (capitolo secondo e terzo). Il volume tratta poi il problema: determinare i punti xi in cui la funzione y = f(x) assume i valori yi assegnati (capitolo quarto). Infine il problema affrontato è: assegnati i valori yi assunti dalla variabile dipendente nei punti xi, determinare la funzione, analitica, f(x) che meglio li rappresenta. Questo problema dell'interpolazione dei dati è distribuito fra i capitoli terzo e quinto; dove non vengono trattate le soluzioni statistiche (curve di regressione). Il sesto capitolo, in una sorta di sintesi dell'intero volume fornisce degli esempi svolti di calcolo approssimato e termina con alcuni esempi fisico-ambientali. Gli autoriI documenti in IRIS sono protetti da copyright e tutti i diritti sono riservati, salvo diversa indicazione.
