La proprietà di conservazione della positività dei metodi numerici applicati ai sistemi differenziali di tipo ODE e PDE a valori iniziali e/o ai bordi, è un argomento di ricerca di notevole interesse. La positività del flusso numerico è un aspetto fondamentale in numerose applicazioni che vanno dalla biologia computazionale, alla dinamica molecolare, alla modellistica in ambito ecologico, dovunque risulti fondamentale che le grandezze in gioco (popolazioni, densità, concentrazioni) non assumano valori negativi. Tale condizione, generalmente, non è verificata dai metodi standard (Runge-Kutta o multistep), a meno di imporre restrizioni sul passo di integrazione talvolta molto significative. Anche nell'ambito della integrazione geometrica, le proprietà di conservazione di cui godono i flussi numerici, quali ad esempio l'energia del sistema e la simpletticità, non garantiscono automaticamente la positività delle soluzioni. In [5] vengono individuate, usando anche le tecniche di backward analysis, le condizioni che garantiscono la positività del metodo di Eulero simlettico e della sua variante esplicita, quando applicati all'equazione di Lotka-Volterra. Tuttavia, le restrizioni sul passo di integrazione diminuiscono sensibilmente l'efficienza dei metodi numerici a tal punto da renderli di fatto inutilizzabili nelle applicazioni reali. La letteratura più recente si è quindi focalizzata sulla costruzione di integratori numerici che garantiscono la positività del flusso numerico per costruzione. Tra i lavori su questo argomento, citiamo [8, 6] in cui vengono proposte tecniche di splitting and composition per la soluzione di modelli differenziali. Gli autori in [8] si preoccupano di dimostrare la positività di uno schema del secondo ordine applicato ad un generico problema parabolico semilineare in uno spazio di Banach. Poichè la positività delle tecniche di splitting è garantita da semiflussi numerici positivi, in [6] gli autori propongono una procedura di splitting applicata al sistema dinamico trasformato mediante una trasformazione logaritmica. Infine, nel più ampio ambito dell'integrazione non standard, possiamo trovare in letteratura integratori simplettici e positivi in grado di preservare anche la stabilità locale della soluzione. Si vedano in particolare il metodo di Mickens ed i metodi di Mounim applicati al sistema Lotka-Volterra [11]. Un ulteriore approccio alla conservazione de facto della positività, si può avvalere del calcolo non Newtoniano. Negli anni '70-'80 Michael Grossman e Robert Katz hanno introdotto metodi di calcolo basati sulla generalizzazione delle operazioni di derivazione e integrazione. A seconda della scelta di opportuni parametri si possono costruire infinite varianti di calcolo non Newtoniano: tra queste, l'approccio basato sugli operatori di derivata e integrale di tipo moltiplicativo è alla base del calcolo moltiplicativo. Tale strumento, è stato riscoperto e utilizzato negli ultimi anni in diversi campi delle scienze applicate (si veda ad esempio [7]), per via della sua caratteristica di preservare, per costruzione, la positività. Alcuni autori si sono già preoccupati di generalizzare la classe dei metodi Runge-Kutta nell'ambito del calcolo moltiplicativo [1] o, più in generale, non Newtoniano [9]. Rimane tuttavia ancora inesplorata la potenzialità del calcolo non Newtoniano nella derivazione e nell'analisi di metodi numerici simplettici e positivi.
Integratori numerici positivi non Newtoniani per sistemi differenziali
Martiradonna A
2017
Abstract
La proprietà di conservazione della positività dei metodi numerici applicati ai sistemi differenziali di tipo ODE e PDE a valori iniziali e/o ai bordi, è un argomento di ricerca di notevole interesse. La positività del flusso numerico è un aspetto fondamentale in numerose applicazioni che vanno dalla biologia computazionale, alla dinamica molecolare, alla modellistica in ambito ecologico, dovunque risulti fondamentale che le grandezze in gioco (popolazioni, densità, concentrazioni) non assumano valori negativi. Tale condizione, generalmente, non è verificata dai metodi standard (Runge-Kutta o multistep), a meno di imporre restrizioni sul passo di integrazione talvolta molto significative. Anche nell'ambito della integrazione geometrica, le proprietà di conservazione di cui godono i flussi numerici, quali ad esempio l'energia del sistema e la simpletticità, non garantiscono automaticamente la positività delle soluzioni. In [5] vengono individuate, usando anche le tecniche di backward analysis, le condizioni che garantiscono la positività del metodo di Eulero simlettico e della sua variante esplicita, quando applicati all'equazione di Lotka-Volterra. Tuttavia, le restrizioni sul passo di integrazione diminuiscono sensibilmente l'efficienza dei metodi numerici a tal punto da renderli di fatto inutilizzabili nelle applicazioni reali. La letteratura più recente si è quindi focalizzata sulla costruzione di integratori numerici che garantiscono la positività del flusso numerico per costruzione. Tra i lavori su questo argomento, citiamo [8, 6] in cui vengono proposte tecniche di splitting and composition per la soluzione di modelli differenziali. Gli autori in [8] si preoccupano di dimostrare la positività di uno schema del secondo ordine applicato ad un generico problema parabolico semilineare in uno spazio di Banach. Poichè la positività delle tecniche di splitting è garantita da semiflussi numerici positivi, in [6] gli autori propongono una procedura di splitting applicata al sistema dinamico trasformato mediante una trasformazione logaritmica. Infine, nel più ampio ambito dell'integrazione non standard, possiamo trovare in letteratura integratori simplettici e positivi in grado di preservare anche la stabilità locale della soluzione. Si vedano in particolare il metodo di Mickens ed i metodi di Mounim applicati al sistema Lotka-Volterra [11]. Un ulteriore approccio alla conservazione de facto della positività, si può avvalere del calcolo non Newtoniano. Negli anni '70-'80 Michael Grossman e Robert Katz hanno introdotto metodi di calcolo basati sulla generalizzazione delle operazioni di derivazione e integrazione. A seconda della scelta di opportuni parametri si possono costruire infinite varianti di calcolo non Newtoniano: tra queste, l'approccio basato sugli operatori di derivata e integrale di tipo moltiplicativo è alla base del calcolo moltiplicativo. Tale strumento, è stato riscoperto e utilizzato negli ultimi anni in diversi campi delle scienze applicate (si veda ad esempio [7]), per via della sua caratteristica di preservare, per costruzione, la positività. Alcuni autori si sono già preoccupati di generalizzare la classe dei metodi Runge-Kutta nell'ambito del calcolo moltiplicativo [1] o, più in generale, non Newtoniano [9]. Rimane tuttavia ancora inesplorata la potenzialità del calcolo non Newtoniano nella derivazione e nell'analisi di metodi numerici simplettici e positivi.I documenti in IRIS sono protetti da copyright e tutti i diritti sono riservati, salvo diversa indicazione.