Una possibile espansione in serie della somma di Reimann nel caso in cui il passo di integrazione sia costante

This technical report investigates a possible series expansion of the Riemann sum (that for the best of my knowledge is an original contribution) when the integration interval is divided into subintervals of constant width. After reviewing the derivation of the trapezoidal rule from the Newton-Cotes formulas and the integral Euler-Maclaurin formula, the corresponding remainder terms are compared. This comparison leads to a relation expressing a particular Riemann sum in terms of the difference between the function values at the endpoints and a series of correction terms involving even-order derivatives evaluated at the endpoints and successive powers of the integration step. As the step size tends to zero, the resulting expression reduces to the fundamental theorem of calculus. The proposed relation is also examined numerically for the exponential and a power function using optimization procedures implemented in Excel. The numerical results are consistent with the theoretical expansion and provide supporting evidence for the proposed derivation

Il rapporto esamina una possibile espansione in serie della somma di Riemann, che si presume originale, nel caso di una suddivisione dell'intervallo di integrazione in sottointervalli di ampiezza costante. Dopo aver richiamato la derivazione della formula dei trapezi mediante le formule di Newton-Cotes e la formulazione integrale di Euler-Maclaurin, vengono confrontate le rispettive espressioni del resto. Da tale confronto si ricava una relazione che esprime una particolare somma di Riemann attraverso la differenza dei valori della funzione agli estremi dell'intervallo e una serie di termini correttivi, dipendenti dalle derivate di ordine pari valutate agli estremi e da potenze successive del passo di integrazione. Nel limite di passo tendente a zero, l'espressione si riconduce al teorema fondamentale del calcolo integrale. La validità della relazione proposta viene inoltre esaminata numericamente per la funzione esponenziale e per una funzione potenza, utilizzando procedure di ottimizzazione implementate in Excel. I risultati numerici ottenuti risultano coerenti con l'espansione teorica e forniscono un riscontro alla derivazione proposta.