Alcune note sulla formula alternativa di calcolo della media (Some remarks on the alternative expectation formula)

This paper presents some observations on the alternative expectaction formula, with some contributions considered original compared to: "Liang Hong - Another Remark on the Alternative Expectation Formula - The American Statistician, Vol. 69, No. 3 (AUGUST 2015), pp. 157-159". In effect, the alternative mean calculation formula is extended to the case of two-dimensional (and multidimensional) variables defined on the entire real axis and not just on the positive real numbers. To reinforce this proposition, a numerical example relating to the bivariate normal distribution is presented, including the Igor Pro code needed for the verification. Furthermore, the role of the Cauchy distribution is highlighted with respect to sets of probability density functions that do and do not admit a finite mean. Finally, the following article, in which the alternative mean calculation formula is applied to the ordinal parameters of a univariate Weibull distribution, is critically reviewed: Piyush Kant Rai, Anu Sirohi - Alternative approach to moments of order statistics from one-parameter Weibull distribution - STATISTICS IN TRANSITION new series, March 2020 Vol. 21, No. 1, pp. 155–162, DOI 10.21307/stattrans-2020-010 This work, written in Italian, was developed between October 2025 and early January 2026.

L’elaborato presenta alcune osservazioni sulla formula alternativa del calcolo della media con contributi che si ritengono originali rispetto a: “Liang Hong - Another Remark on the Alternative Expectation Formula - The American Statistician, Vol. 69, No. 3 (AUGUST 2015), pp. 157-159”. Segnatamente si estende la formula alternativa del calcolo della media al caso di variabili bidimensionali (e multidimensionali) definite su tutto l’asse reale e non solo sui reali positivi; per rafforzare detta proposizione viene presentato un esempio numerico relativo alla normale bivariata dando anche il codice Igor Pro necessario per la verifica. Inoltre viene evidenziato il ruolo della distribuzione di Cauchy rispetto agli insiemi di funzioni densità di probalitità che ammettono e che non ammettono media finita. Infine viene revisionato criticamente l’articolo seguente, in cui la formula alternativa del calcolo della media è applicate ai parametri ordinali di una distribuzione di Weibull monovariata: Piyush Kant Rai, Anu Sirohi - Alternative approach to moments of order statistics from one-parameter Weibull distribution - STATISTICS IN TRANSITION new series, March 2020 Vol.21, No. 1, pp. 155–162, DOI 10.21307/stattrans-2020-010 Il presente Lavoro, redatto in lingua italiana, è stato elaborato tra ottobre 2025 e I primi di gennaio 2026