Heavy-tailed GARCH models for data financial analysis

Il crescente bisogno di migliorare ed ottimizzare dei processi che sono già ampiamente impiegati, è un'idea interessante ed avvicente. Nel nostro lavoro c'è proprio questo concetto. Infatti, non era pensabile fino a qualche anno fa, utilizzare delle routine per il calcolo della distribuzione alfa-stabile. Oggi questa possibilità sta portando ad un sensibile allargamento degli orizzonti scientifici. Nel campo finanziario il prevedere come si evolveranno i titoli azionari o quale variazione avranno i tassi di cambio di una moneta piuttosto che i tassi di interesse, è di grande importanza per i grossi movimenti economici che determina. I tempi di previsione devono essere variabili, nel senso che deve esistere la possibilità di prevedere sia in maniera giornaliera che magari settimanale, se non addirittura in maniera mensile. L'intreccio, il connubio tra i nuovi aspetti scientifici e la necessità di creare profitto utilizzando strumenti previsionali, sono alla base dell'applicazione che è stata sviluppata in questo lavoro. Infatti, la strada era già aperta da precedenti lavori ed il nostro è un ulteriore approfondimento delle capacità di prevedere attraverso dei modelli di analisi finanziaria. I modelli finanziari utilizzati per questo scopo sono i Generalized AutoRegressive Conditional 5 Heteroskedasticity, GARCH, e l'ottimizzazione che introduciamo è la possibilità di passare da una distribuzione di tipo Gaussiano ad una più generica di tipo alfa-stabile, che non è la novità. L'aspetto innovativo è l'impiego della mistura di questo tipo di densità di probabilità. Tutto questo è stato reso possibile attraverso le simulazioni effettuate con il metodo Monte Carlo Markov Chain, MCMC, un algoritmo statistico che garantisce la convergenza. L'innovazione apportata è l'utilizzo di un sistema di misture alfa-stabili applicando strategie di simulazione MCMC. I dati finanziari hanno delle caratteristiche che rendono la modellazione di non facile trattazione e che si sposano, sotto certi aspetti, con le caratteristiche della distribuzione alfa-stabile. L'interesse per questo tipo di dati è mosso dalle proprietà di skewness e di heavy-tailed, che presentano molto spesso tali dati. Queste proprietà sono centrali nelle distribuzioni stabili e sono ben rappresentabili attraverso l'asimmetria e l'eccesso di leptokurtosis che tali probabilitù possono interpretare. L'utilizzo della mistura di alfa-stabili è dettato dal voler esplorare in nuovi campi applicativi tale impiego. E' altrettanto interessante, capire se esistono delle sottopopolazioni nel dataset che ogni volta andiamo ad analizzare. Cioè, viene reso possibile dalle componenti che intervengono nella descrizione del fenomeno osservato. Un altro fattore di interesse è il volatility clustering, cioè momenti di alta volatilità si alternano a momenti di bassa volatilità e sono una forma di eteroschedacità. Questo stylized facts è stato investigato nei pioneristici lavori di Mandelbrot(1963) e di Fama(1965). L'utilizzo dei GARCH e motivato dall'importanza che tali modelli hanno nel catturare i movimenti della volatilità e rappresentano la classe di modelli maggiormente impiegata in questo ambito. L'impiego di tecniche MCMC è dovuto, in primo luogo, all'alta frequenza che hanno i dati finanziari, che solitamente sono raccolti in maniera giornalieria. In secondo luogo, perchè tali tecniche vengono applicate per risolvere problemi di integrazione e di ottimizzazione. Secondo queste ed altre motivazioni, che saranno presentate in seguito, abbiamo implementato la nostra applicazione. Nel prossimo capitolo passeremo attraverso lo studio di metodi MCMC, partendo da un'analisi del principio Monte Carlo, introducendo, poi, le catene di Markov ed arrivando ai metodi utilizzati nel nostro lavoro. Nel terzo capitolo vedremo le caratteristiche e le proprietà delle distribuzioni prese in considerazioni e le loro misture. Nel quarto capitolo analizeremo i modelli finanziari utilizzati per il nostro lavoro. Nel quinto capitolo cercheremo di dare il nostro contributo scienti co, mostrando i risultati ottenuti.