Metodi di quantificazione del caos deterministico in serie temporali e valutazione dei parametri

A partire dagli anni '60, in concomitanza con la sempre maggiore diffusione degli elaboratori, l'analisi e lo studio di sistemi dinamici non lineari si sono notevolmente sviluppati; in particolare sono state proposte varie metodologie per la caratterizzazione di un particolare tipo di comportamento spesso riscontrato nei sistemi non lineari, cui è stato dato il nome di caos deterministico. Questo filone è di fatto nato nel 1963, quando Lorenz dimostrò che un sistema dinamico ben definito in termini di meccanica classica (la ruota di Lorenz), caratterizzabile mediante tre equazioni differenziali non-lineari, presentava una soluzione che, in pratica, non poteva essere prevista nel lungo periodo. Ciò contrasta totalmente con il concetto di determinismo: date le condizioni iniziali e le equazioni del moto è possibile stabilire lo stato del sistema ad ogni istante passato e futuro. La ragione per cui Lorenz ha ottenuto tale risultato è da ricercarsi nella impossibilità pratica di fornire le condizioni iniziali per la soluzione del sistema in maniera assolutamente esatta. Infatti è sufficiente una variazione infinitesima nella definizione delle condizioni iniziali per determinare due evoluzioni dello stato del sistema considerevolmente differenti fra loro (e.g. l'integrazione del sistema di equazioni di Lorenz effettuato in singola anzichè in doppia precisione produce risultati visibilmente differenti). Il lavoro di Lorenz è stato ripreso negli anni '70 quando si è sperimentato che molti sistemi reali (nella fisica, nella chimica, nella bioingegneria, nella medicina e nelle scienze economiche e sociali) sono difficilmente prevedibili ed inoltre infinitesime variazioni nello stato del sistema possono determinare notevoli cambiamenti sul comportamento del sistema nel suo complesso. Si iniziò a parlare di caos deterministico e fu accettato il paradigma in base al quale il caos deterministico è la regola e non l'eccezione nei sistemi non lineari ed emerse l'esigenza di sviluppare metodologie in grado di rilevare l'esistenza di un comportamento caotico e quantificarlo mediante opportune grandezze. All'inizio degli anni '80 Packard e Takens hanno proposto un metodo per la ricostruzione della dinamica caotica in uno spazio opportuno a partire da una serie temporale monodimensionale generata da un sistema dinamico. Nel 1983 Grassberger & Procaccia hanno proposto una misura di dimensione denominata dimensione di correlazione (D_2) che approssima la dimensione frattale, con il vantaggio di una maggiore praticità d'uso dell'algoritmo messo a punto dagli autori. Negli stessi anni sono stati proposti algoritmi per il calcolo della entropia K_2 e dell' entropia di Kolmogorov (K). Nel 1985 Wolf ha proposto un algoritmo per la stima dei primi coefficienti di Lyapunov a partire da una serie temporale; successivamente altri autori hanno proposto altre metodologie per determinare, almeno in linea di principio, lo spettro completo dei coefficienti di Lyapunov. I vari parametri via via studiati concorrono a dare informazioni sempre più complete sulla dinamica, evidenziando di volta in volta aspetti parzialmente differenti. In questo lavoro ci occuperemo dei metodi applicabili quando sia nota soltanto una singola variabile osservabile del sistema. Dopo avere passato in rassegna alcuni dei principali algoritmi per la caratterizzazione di sistemi caotici, esamineremo in maniera più dettagliata l'utilizzo della dimensione di correlazione (D_2) per lo studio di segnali elettrocardiografici ed alcune delle problematiche che occorre affrontare per ottenere una stima più accurata di tale grandezza. Esamineremo come influiscono sulla stima della D_2 la presenza di rumore di misura e l'esistenza di intervalli costanti nella serie temporale ed infine l'utilizzo del filtraggio lineare per segnali affetti da rumore.